Des poissons traversent une rivière. Chaque poisson qui franchit le trait d'observation est un événement. Le paramètre λ est le nombre moyen de poissons par période (et donc 1/λ représente la fraction de période moyenne entre deux poissons ).
fréquence observée probabilité théorique P(X = k)
Elle modélise le nombre d'événements qui se produisent pendant une période donnée lorsque :
P(X = k) = e−λ λk / k!
où X est le nombre d'événements pendant une période, k un nombre particulier (0, 1, 2…) et λ la moyenne Pour une loi de Poisson, E(X) = λ et Var(X) = λ.
Exemple : pour λ = 2, P(X = 2) = e−2 × 2² / 2! ≈ 0,271, soit environ 27 % des périodes.
C'est la loi des grands nombres : quand on répète un grand nombre de fois la même expérience, la fréquence observée de chaque résultat se rapproche de sa probabilité théorique, et la moyenne observée se rapproche de la moyenne théorique λ. Essayez 10 périodes, puis 1000.
Attention : ce rapprochement n'est pas régulier (une simulation à 100 périodes peut tomber plus loin qu'une autre à 50), et il ne dit rien sur une période prise isolément : la 1000e période est tout aussi imprévisible que la première. C'est l'accumulation qui se stabilise, pas les tirages.
La loi porte le nom de Siméon Denis Poisson (1781-1840), mathématicien français. Les poissons de cette page ne sont qu'un moyen mnémotechnique !