Loi binomiale

Qu'est-ce que la loi binomiale ?

Elle modélise le nombre de succès lorsqu'on répète n fois la même expérience à deux issues (succès / échec) lorsque :

• les répétitions sont indépendantes les unes des autres ;
• la probabilité de succès p est la même à chaque répétition ;
• on compte le nombre de succès (0, 1, 2, …, n).

La formule

P(X = k) = C(n, k) × p^k × (1 − p)^{n − k}

X est le nombre de succès, k un nombre particulier (0, 1, …, n), et C(n, k) le nombre de façons de choisir les k graines qui germent parmi les n (coefficient binomial). Pour une loi binomiale, E(X) = n × p et Var(X) = n × p × (1 − p).

Exemple : pour n = 10 et p = 0,3, P(X = 3) = C(10, 3) × 0,3³ × 0,7⁷ = 120 × 0,027 × 0,082 ≈ 0,267, soit environ 27 % des simulations.

Pourquoi les barres se rapprochent des points quand on simule beaucoup ?

C'est la loi des grands nombres : quand on répète un grand nombre de fois la même expérience, la fréquence observée de chaque résultat se rapproche de sa probabilité théorique, et la moyenne observée se rapproche de la moyenne théorique n × p. Essayez 5 simulations, puis 1000.

Attention : ce rapprochement n'est pas régulier (100 simulations peuvent donner un résultat plus éloigné que 50), et il ne dit rien sur une simulation prise isolément : la 1000^e simulation est tout aussi imprévisible que la première. C'est l'accumulation qui se stabilise, pas les tirages.

Exemples

• nombre de graines qui germent parmi n plantées ;
• nombre de piles obtenus en lançant n fois une pièce ;
• nombre de pièces défectueuses dans un lot de n pièces ;
• nombre de bonnes réponses en répondant au hasard à n questions.

Lien avec la loi de Poisson

Quand n est grand et p petit, la loi binomiale ressemble beaucoup à une loi de Poisson de paramètre λ = n × p. Essayez n = 50 et p = 0,05 !